时间序列分析
本系列整理自 《时间序列分析》 课程讲义、课堂推导板书与录音实录（参考教材：王燕《应用时间序列分析
系列特色：不仅收录了课件中的标准定义与定理，还完整还原了课堂板书推导细节（如条件期望消去法推导偏自相关系数 \(\phi_{kk}\)、时间轴重叠项法推导 \(\text{MA}(q)\) 自协方差statsmodels) 仿真代码。
知识体系全景导图
flowchart LR
ROOT["时间序列分析"] --> CH1["第 1 章：基础与平稳性理论"]
ROOT --> CH2["第 2 章：ARMA 模型核心理论"]
CH1 --> S11["1.1 时间序列分析简介"]
S11 --> S11A["定义与分类（纵向 vs 截面）"]
S11 --> S11B["发展四阶段（频域 vs 时域）"]
S11 --> S11C["四大应用（预报/控制/诊断/频谱）"]
CH1 --> S12["1.2 平稳时间序列的定义"]
S12 --> S12A["随机过程与样本轨道"]
S12 --> S12B["数字特征（均值/方差/ACF）"]
S12 --> S12C["严平稳 vs 宽平稳（遍历性）"]
S12 --> S12D["自协方差函数四大性质"]
CH2 --> S21["2.1 自回归 AR(p) 模型"]
S21 --> S21A["延迟算子 B 与差分方程"]
S21 --> S21B["特征根判别法（单位圆内）"]
S21 --> S21C["平稳域判别法（AR(2) 三角形）"]
CH2 --> S22["2.2 AR(p) 模型的统计特性"]
S22 --> S22A["传递形式与 Green 函数 Gj"]
S22 --> S22B["Yule-Walker 方程与 ACF 拖尾"]
S22 --> S22C["偏自相关系数 PACF p 阶截尾"]
CH2 --> S23["2.3 滑动平均 MA(q) 模型"]
S23 --> S23A["外部扰动记忆与无条件平稳性"]
S23 --> S23B["ACF q 阶截尾与 PACF 拖尾"]
S23 --> S23C["可逆性判别与逆函数 Ij"]章节目录与核心速览
| 章节 | 标题 | 核心知识点与课堂精要 |
|---|---|---|
| 第 1 章 第 1 节 | 时间序列分析简介 | 尼罗河泛滥历史起源、随机过程的一次样本实现、与传统 i.i.d. 统计分析的三大差异、时域 / 频域发展脉络、四大应用场景 |
| 第 1 章 第 2 节 | 平稳时间序列与自协方差函数 | 均值 / 方差 / 自协方差 \(\gamma(t,s)\)/ACF、严平稳与宽平稳辩证关系（柯西反例与正态等价 |
| 第 2 章 第 1 节 | 自回归 AR 模型与平稳性判别 | Galton 回归思想、\(\text{AR}(p)\) 定义、延迟算子 \(B\) 与特征多项式 \(\Phi(B)\)、特征根 \(\lambda_i\) 与多项式根 \(b_i\) 互为倒数定理、特征根判别法与 \(\text{AR}(2)\) 三角形平稳域 |
| 第 2 章 第 2 节 | AR 模型的统计特性（Green 函数、ACF 与 PACF） | 中心化变换、Green 函数 \(G_j\) 递推与物理意义、自协方差递推算式、ACF 指数衰减四形态与拖尾性、PACF \(\phi_{kk}\) 条件期望推导与 \(p\) 阶截尾性、课堂综合大题精解 |
| 第 2 章 第 3 节 | 滑动平均 MA 模型、统计特性与可逆性 | 外部冲击建模背景、\(\text{MA}(q)\) 统计特性（无条件平稳、时间轴重叠法求 \(\gamma_k\) |
Table 1. 时间序列分析系列文章导航表
核心符号约定速查
全系列通用数学记号约定
- 时间序列 / 随机过程：\(\{X_t, t \in T\}\) 或 \(\{x_t\}\)，其中 \(\{\varepsilon_t\} \sim \text{WN}(0, \sigma^2)\) 表示零均值、方差为 \(\sigma^2\) 的白噪声序列。
- 延迟算子（Backshift Operator）：\(B x_t = x_{t-1}\)，\(B^k x_t = x_{t-k}\)；一阶差分算子 \(\nabla = 1 - B\)。
- 自回归系数多项式：\(\Phi(B) = 1 - \varphi_1 B - \varphi_2 B^2 - \cdots - \varphi_p B^p\)，对应 \(\text{AR}(p)\) 模型 \(\Phi(B)x_t = \varepsilon_t\)。
- 滑动平均系数多项式：\(\Theta(B) = 1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 - \cdots - \theta_q B^q\)，对应 \(\text{MA}(q)\) 模型 \(x_t = \Theta(B)\varepsilon_t\)。
- 数字特征：均值 \(\mu = E(x_t)\)，方差 \(\gamma_0 = D(x_t)\)，延迟 \(k\) 阶自协方差 \(\gamma_k = \operatorname{Cov}(x_t, x_{t-k})\)，延迟 \(k\) 阶自相关系数（ACF）\(\rho_k = \gamma_k / \gamma_0\)，延迟 \(k\) 阶偏自相关系数（PACF）记为 \(\phi_{kk}\)。