滑动平均 MA 模型、统计特性与可逆性

在学完自回归模型 \(\text{AR}(p)\) 后，本节进入 \(\text{ARMA}\) 家族的第二大支柱——滑动平均模型（Moving Average Model, \(\text{MA}(q)\)）。我们将从金融市场“黑天鹅”冲击的建模背景出发，推导 \(\text{MA}(q)\) 的五大统计特性（重点掌握时间轴重叠项法求自协方差与 \(q\) 阶截尾性），并深入剖析 \(\text{MA}\) 模型独有的核心概念——可逆性（Invertibility）。

MA 模型的产生背景与定义

为什么有了 \(\text{AR}\) 模型还需要 \(\text{MA}\) 模型？

在课堂上，老师以 2020 年 3 月 12 日美股暴跌熔断（疫情爆发引发的“黑天鹅”事件） 为例阐述了 \(\text{MA}\) 模型的物理背景：

• \(\text{AR}\) 模型的局限：\(\text{AR}(p)\) 模型假设当前观测值 \(x_t\) 主要由过去观测值 \(x_{t-1}, \dots, x_{t-p}\) 的线性组合决定（系统自身状态的惯性记忆）。但在金融市场剧烈波动、突发政策或外部冲击频发的场景下，历史观测值本身的惯性记忆很弱，反而是当前及过去几期的外部突发随机干扰（白噪声扰动 \(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \dots\)）对当前状态 \(x_t\) 起主导作用。
• \(\text{MA}\) 模型的思想：放弃用过去的观测值 \(x_{t-i}\) 建模，转而将当前观测值 \(x_t\) 直接表示为当期白噪声扰动 \(\varepsilon_t\) 与过去有限期历史扰动 \(\varepsilon_{t-1}, \dots, \varepsilon_{t-q}\) 的线性组合（加权滑动平均）——这就是刻画“外部扰动记忆”的滑动平均模型（Moving Average, \(\text{MA}\)）。

\(\text{MA}(1)\) 与 \(\text{MA}(q)\) 模型的数学定义

MA 模型的统计特性（均值、方差、ACF 与 PACF）

下面针对中心化 \(\text{MA}(q)\) 模型 \(x_t = \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \cdots - \theta_q \varepsilon_{t-q}\) 推导其统计特征（可统一记 \(\psi_0 = 1,\ \psi_j = -\theta_j\ (1 \le j \le q)\)，则 \(x_t = \sum_{j=0}^q \psi_j \varepsilon_{t-j}\)）。

均值与方差（比 \(\text{AR}\) 模型简单得多！）

1. 均值 \(\mu = E(x_t)\)： 两边同时取期望，因 \(E(\varepsilon_{t-j}) = 0\)，故中心化 \(\text{MA}(q)\) 模型的均值恒为 \(0\)（非中心化模型均值为 \(E(x_t) = \theta_0\)）：

   $$ \boxed{E(x_t) = 0} $$

2. 方差 \(\gamma_0 = D(x_t)\)： 与 \(\text{AR}(p)\) 模型不同，\(\text{MA}(q)\) 右边的白噪声项 \(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \dots, \varepsilon_{t-q}\) 两两互不相关！因此两边取方差时可以直接按独立和逐项展开（注意 \((-\theta_j)^2 = +\theta_j^2\)，课堂上老师特别提醒切勿把平方项写成减号！）：

   $$ \boxed{\gamma_0 = D(x_t) = \big(1 + \theta_1^2 + \theta_2^2 + \cdots + \theta_q^2\big)\sigma2 = \sigma^2 \sum_{j=0}^q \theta_j^2 \qquad (\text{约定 } \theta_0 = -1)} $$

   • 特例 \(\text{MA}(1)\) 方差：\(\gamma_0 = (1 + \theta_1^2)\sigma^2\)；
   • 特例 \(\text{MA}(2)\) 方差：\(\gamma_0 = (1 + \theta_1^2 + \theta_2^2)\sigma^2\)。

自协方差函数 \(\gamma_k\)（课堂“时间轴重叠项”推导法）

求延迟 \(k\ (k \ge 1)\) 阶自协方差 \(\gamma_k = E(x_t x_{t-k})\)：

由于白噪声序列 \(\{\varepsilon_t\}\) 仅在下标完全相同时才有 \(E(\varepsilon_s \varepsilon_s) = \sigma^2\)，下标不同时乘积期望全为 \(0\)。课堂上老师给出了直观的时间轴区间重叠分析法：

• 第一个括号 \(x_t\) 包含的白噪声时间下标范围为：\([t - q,\ t]\)；
• 第二个括号 \(x_{t-k}\) 包含的白噪声时间下标范围为：\([t - k - q,\ t - k]\)。

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x_t 的下标区间:          t-q .......... t-k .......... t-1   t
                          |==============|==============|
x_{t-k} 的下标区间:  t-k-q .......... t-q .......... t-k
                      |==============|==============|
                                     ^--------------^
                                  重叠区间 [t-q, t-k]（仅当 1 ≤ k ≤ q 时存在！）

• 当 \(1 \le k \le q\) 时：两个区间在 \([t-q,\ t-k]\) 上发生重叠，共有 \(q - k + 1\) 对下标相同的白噪声项相乘非零： - 下标 \(t-k\) 项：\((-\theta_k \varepsilon_{t-k}) \cdot (1 \cdot \varepsilon_{t-k}) \implies -\theta_k \sigma^2\) - 下标 \(t-k-1\) 项：\((-\theta_{k+1} \varepsilon_{t-k-1}) \cdot (-\theta_1 \varepsilon_{t-k-1}) \implies +\theta_1 \theta_{k+1} \sigma^2\) - \(\cdots\) - 下标 \(t-q\) 项：\((-\theta_q \varepsilon_{t-q}) \cdot (-\theta_{q-k} \varepsilon_{t-q}) \implies +\theta_{q-k} \theta_q \sigma^2\)
• 当 \(k > q\) 时：\(t - k < t - q\)，两个时间下标区间完全错开、没有任何重叠项，因此乘积期望恒等于 \(0\)！

综合起来，得到 \(\text{MA}(q)\) 模型的自协方差函数通式：

自相关系数（ACF）与 \(q\) 阶截尾性

将 \(\gamma_k\) 除以 \(\gamma_0\)，即得 \(\text{MA}(q)\) 模型的自相关系数（ACF）通式：

由此可见，\(\text{MA}(q)\) 模型的自相关系数具有 ** \(q\) 阶截尾性（Cutoff after lag \(q\)）**：当滞后阶数 \(k > q\) 时，\(\rho_k \equiv 0\)（而由于 \(\theta_q \ne 0\)，第 \(q\) 阶 \(\rho_q = \frac{-\theta_q}{1+\theta_1^2+\cdots+\theta_q^2} \ne 0\)）。这是从样本 ACF 图识别 \(\text{MA}(q)\) 模型及其阶数 \(q\) 的直接依据！

\(\text{MA}(q)\) 模型的偏自相关系数（PACF）：拖尾性

对于 \(\text{MA}(q)\) 模型，其偏自相关系数 \(\phi_{kk}\) 的求解方法与 \(\text{AR}\) 模型完全一致——先算出自相关系数 \(\rho_1, \dots, \rho_q\)（\(k > q\) 时 \(\rho_k = 0\)），再代入 \(k\) 阶 Yule-Walker 方程组用 Cramer 法则求解：

• \(k = 1\)：\(\phi_{11} = \rho_1\)；
• \(k = 2\)：\(\phi_{22} = \frac{\rho_2 - \rho_1^2}{1 - \rho_1^2}\)；
• \(k = 3\)（以 \(\text{MA}(1)\) 为例，因 \(\rho_2 = \rho_3 = 0\)）：\(\phi_{33} = \frac{\rho_1^3}{1 - 2\rho_1^2}\)。

对于 \(\text{MA}(1)\) 模型，可严格证明其 \(k\) 阶偏自相关系数闭式解为：

可见，\(\text{MA}(q)\) 模型的偏自相关系数（PACF）不会在某阶后截断为 \(0\)，而是呈现指数衰减的拖尾性（Tailing Off）！

MA 模型的可逆性（Invertibility）与逆函数

问题的引出：自相关系数的非唯一性困境

先看课堂上的经典练习题（对应 笔记.md）：

事实上，对任意 \(\text{MA}(1)\) 模型，若将参数 \(\theta_1\) 替换为倒数 \(1/\theta_1\)：

自相关系数完全不变！推广到 \(\text{MA}(2)\) 模型，若将 \((\theta_1, \theta_2)\) 替换为 \((\theta_1/\theta_2,\ 1/\theta_2)\)，自相关系数同样不变（一套 \(\text{MA}(2)\) 自相关系数最多可对应 4 个不同的 \(\text{MA}(2)\) 模型！）。

可逆性与逆函数 \(I_j\) 的定义及统计意义

在 \(\text{AR}\) 模型中，我们通过 Green 函数 \(G_j\) 将观测序列 \(x_t\) 表示为白噪声 \(\varepsilon_{t-j}\) 的无穷线性组合（\(x_t = \sum_{j=0}^\infty G_j \varepsilon_{t-j}\)）。 现在反过来思考：能不能用可观测的历史数据 \(x_t, x_{t-1}, \dots\) 的无穷线性组合（收敛的自回归形式）来表示不可观测的白噪声扰动 \(\varepsilon_t\)？

• 统计意义：在实际问题中，白噪声扰动 \(\varepsilon_t\) 是无法直接测量的，而历史序列值 \(x_t, x_{t-1}, \dots\) 是已知的观测数据。只有当模型可逆时，我们才能利用已知的历史观测数据 \(x_{t-j}\) 唯一、稳定地重构和估计出当期随机扰动 \(\varepsilon_t\)，且久远历史观测 \(x_{t-j}\ (j \to \infty)\) 对当前的影响会按指数衰减至 \(0\)！
• 重要推论：有限阶 \(\text{AR}(p)\) 模型本身就是有限项的自回归形式，因此有限阶 \(\text{AR}(p)\) 模型恒可逆（无条件可逆）！

\(\text{MA}(1)\) 与 \(\text{MA}(q)\) 模型的可逆性判别准则

\(\text{MA}(1)\) 模型的可逆条件推导

对中心化 \(\text{MA}(1)\) 模型 \(x_t = \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t\)，不断将 \(\varepsilon_{t-k} = x_{t-k} + \theta_1 \varepsilon_{t-k-1}\) 向过去迭代展开：

（或用算子级数展开 \(\varepsilon_t = (1 - \theta_1 B)^{-1} x_t = \sum_{j=0}^\infty \theta_1^j B^j x_t = \sum_{j=0}^\infty \theta_1^j x_{t-j}\)）。 要使余项 \(\theta_1^{k+1}\varepsilon_{t-k-1} \to 0\ (k \to \infty)\) 且级数收敛，充要条件是：

此时 \(\text{MA}(1)\) 的逆函数为 \(I_j = -\theta_1^j\ (j \ge 1)\)。 回看刚才的练习题（\(\rho_1 = 0.4\) 解出 \(\theta = -0.5\) 或 \(\theta = -2\)）：由于可逆性要求 \(|\theta| < 1\)，舍去 \(\theta = -2\)，唯一可逆的 \(\text{MA}(1)\) 模型为 \(X_t = \varepsilon_t + 0.5\varepsilon_{t-1}\)！

一般 \(\text{MA}(q)\) 模型的可逆性判别（与 \(\text{AR}(p)\) 平稳性完全对偶！）

对 \(\text{MA}(q)\) 模型 \(x_t = \Theta(B)\varepsilon_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 - \cdots - \theta_q B^q)\varepsilon_t\)，定义其对应的滑动平均特征方程（为与 \(\text{AR}\) 的特征根 \(\lambda\) 区分，记为 \(\mu\)）：

设其 \(q\) 个特征根为 \(\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_q\)（与滑动平均系数多项式 \(\Theta(B) = 0\) 的根 \(b_i\) 同样互为倒数：\(\mu_i = 1/b_i\)），则 \(\Theta(B) = \prod_{i=1}^q (1 - \mu_i B)\)。

\(\text{AR}(p)\) 与 \(\text{MA}(q)\) 模型的终极对偶对比总结

\(\text{AR}(p)\) 与 \(\text{MA}(q)\) 在算子结构、平稳性 / 可逆性、传递函数 / 逆函数以及 ACF/PACF 定阶特征上呈现出完美的数学对偶性（Duality），这也是本章最重要的复习总表：

flowchart LR
    subgraph AR["AR(p) 自回归模型：Φ(B)x_t = ε_t"]
        AR1["天然可逆（有限阶自回归）"]
        AR2["平稳性需判别：|λ_i| < 1"]
        AR3["传递形式：x_t = Σ G_j ε_{t-j}（Green函数）"]
        AR4["ACF 拖尾（指数衰减） / PACF p 阶截尾"]
    end

    subgraph MA["MA(q) 滑动平均模型：x_t = Θ(B)ε_t"]
        MA1["天然平稳（有限阶白噪声组合）"]
        MA2["可逆性需判别：|μ_i| < 1"]
        MA3["逆形式：ε_t = Σ I_j x_{t-j}（逆函数）"]
        MA4["ACF q 阶截尾 / PACF 拖尾（指数衰减）"]
    end

    AR <== "算子与统计特性完全对偶" ==> MA

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